Cramér’s moderate deviations for martingales with applications

Soit (ξi,Fi)i≥1 une suite de différences de martingale. Soient Xn=∑ i=1nξi et ⟨X⟩n=∑i=1nE(ξi2|Fi−1). Nous prouvons les développements de déviation modérée de Cramér pour P(Xn/⟨X⟩n≥x) et P(Xn/ E Xn2≥x) lorsque n→∞. Nos résultats étendent le résultat classique de Cramér aux cas des martingales normalisées Xn/⟨X⟩ n et des martingales standardisées Xn/ E Xn2, où les différences de martingale vérifient la condition de Bernstein conditionnelle. Des applications aux marches aléatoires des éléphants et aux processus autorégressifs sont également discutées.