A spatial analogue of a line-symmetric Kempe linkage

Although Kempe's virtuosic synthesis of mobile plane networks and Bricard's equally impressive discovery of deformable octahedra were contemporaneous works, their relatedness was only recently pointed out. It was also noted at the time that a true spatial analogue of a Kempe network would not be easily produced. This paper draws on earlier studies of network analysis and Bricard and Bennett linkages in order to attempt a synthesis of a certain mobile line-symmetric multiloop spatial ensemble. The only possible solution, the first of its kind in the literature, is determined by means of closure equation algebra, and it is found to be a valid spherical analogue of the corresponding Kempe network. Des analogues spatiaux des treillis plans des mécanismes de Kempe[2] ont été étudiés par Fontené[11] et Goldberg[1]. Le sujet fut exploré systèmatiquement dans les travaux[3–6]. Les techniques de base y furent developpées. Cependant il y fut reconnus que l'étude d'un cas réel serait difficile et longue. Dans l'article présent les auteurs synthétisent un treillis spatial à ligne de symétrie (Fig. 1) qui comprend des chaînes de Bennett (Fig. 2), des hexagones rigides (Fig. 3) et des boucles de Bricard (Fig. 4). Les quantitiés fondamentales, sauf les excentricités, sont choisies comme celles associées aux mécanismes de Bennett. La ligne de symétrie simplifie considérablement l'analyse. On trouve que la seule solution propre est une version dégénérée du treillis proposé, dans lequel toutes les charnières sont concourantes et les boucles de Bennett deviennent sphériques. Néamoins, la solution est un analogue vrai d'un type spécial du cas I de Kempe. La solution des onze équations indépendantes de clôture a été vérifiée par un programme d'ordinateur. Un modèle physique de l'ensemble proposé est illustré dans la Fig. 5. On voit qu'il y a douze couples rotoïdes qui connectent les divers éléments.