Number of solutions to a special type of unit equations in two unknowns

数学 类型(生物学) 单位(环理论) 数学分析 纯数学 牙石(牙科) 数学教育 地质学 口腔正畸科 医学 古生物学
作者
Takafumi Miyazaki,István Pink
出处
期刊:American Journal of Mathematics [Johns Hopkins University Press]
卷期号:146 (2): 295-369
标识
DOI:10.1353/ajm.2024.a923236
摘要

abstract: For any fixed relatively prime positive integers $a$, $b$ and $c$ with $\min\{a,b,c\}>1$, we prove that the equation $a^x+b^y=c^z$ has at most two solutions in positive integers $x$, $y$ and $z$, except for one specific case which exactly gives three solutions. Our result is essentially sharp in the sense that there are infinitely many examples allowing the equation to have two solutions in positive integers. From the viewpoint of a well-known generalization of Fermat's equation, it is also regarded as a 3-variable generalization of the celebrated theorem of Bennett [M.~A. Bennett, On some exponential equations of S. S. Pillai, Canad. J. Math. 53 (2001), no.~2, 897--922] which asserts that Pillai's type equation $a^x-b^y=c$ has at most two solutions in positive integers $x$ and $y$ for any fixed positive integers $a$, $b$ and $c$ with $\min\{a,b\}>1$.

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