Vanishing theorems on Hypersurfaces in $\mathbf{S}^{n} \times \mathbf{R}$

数学 纯数学 组合数学 数学分析
作者
Peng Zhu
出处
期刊:Kodai Mathematical Journal [Tokyo Institute of Technology]
卷期号:47 (1)
标识
DOI:10.2996/kmj47101
摘要

We discuss a complete noncompact hypersurface $\Sigma^n$ in a product manifold $\mathbf{S}^{n} \times \mathbf{R} (n \geq 3)$. Suppose that the inner product of the unit normal to $\Sigma$ and $\frac{\partial}{\partial t}$ has a positive lower bound $\delta_0$, where $t$ denotes the coordinate of the factor $\mathbf{R}$ of $\mathbf{S}^{n} \times \mathbf{R}$. We prove that there is no nontrivial $L^2$ harmonic 1-form if the total curvature or the length of the traceless $\Phi$ of the second fundamental form is bounded from above by a constant depending only on $n$ and $\delta_0$. These results are extensions of results on hypersurfaces in Hadamard manifolds and spheres. These results are also generalization of results on hypersurfaces in $\mathbf{S}^{n} \times \mathbf{R}$ without minimality.

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