Structured perturbation theory for eigenvalues of symplectic matrices

En este trabajo se desarrolla una teoria de perturbacion de autovalores de matrices simplecticas frente a perturbaciones que preservan la simplecticidad de la matriz. Dado que la clase de matrices simplecticas tiene una estructura multiplicativa subyacente, las formulas clasicas de Lidskii para perturbaciones aditivas pequenas no se pueden aplicar de manera directa, de modo que desarrollamos una nueva teoria de perturbacion multiplicativa: dada cualquier matriz cuadrada A, obtenemos el termino director del desarrollo asintotico en el parametro real (y pequeno) de autovalores de perturbaciones multiplicativas de A. El analisis se separa en dos casos complementarios, dependiendo de que el autovalor a perturbar sea nulo o no. Se demuestra que en ambos casos los exponentes directores se obtienen a partir de las multiplicidades parciales del autvalor bajo estudio, y que los coeficientes directores solo involucran genericamente autovectores derechos e izquierdos adecuadamente normalizados, sin necesidad de autovalor generalizado alguno. Debe senalarse que, aunque inicialmente motivados por la necesidad para el caso simplectico, esta teoria (no estructurada) de perturbacion multiplicativa reviste interes por ser independientemente de su aplicacion al caso simplectico. Tras mostrar que cualquier perturbacion estructurada pequena de una matriz simplectica S, puede escribirse de forma multiplicativa con coeficiente de primer orden Hamiltoniano, aplicamos las formulas tipo Lidskii obtenidas para perturbaciones multiplicativas al caso simplectico, explotando la particular conexion que la estructura simplectica induce entre los autovectores derechos e izquierdos normalizados por la forma de Jordan. Especial atencion se le dedica a los autovalores sobre el circulo unidad, particularmente a los autovalores excepcionales 1, cuyo comportamiento frente a perturbaciones estructuradas es sabido que difiere significativemente del comportamiento frente a perturbaciones arbitrarias. Ademas, presentamos varios ejemplos numericos que ilustran (y confirman) los desarrollos asintoticos obtenidos.