Mathematical analysis and numerical approximation of the Stokes and Navier-Stokes equations with non standard boundary conditions

Les travaux de la these portent sur la resolution des equations de Stokes, d'abord avec des conditions au bord portant sur la composante normale du champ de vitesse et la composante tangentielle du tourbillon, ensuite avec des conditions au bord portant sur la pression et la composante tangentielle du champ de vitesse. Dans chaque cas nous demontrons l'existence, l'unicite et la regularite de la solution. Nous traitons aussi le cas de solutions tres faibles, par dualite. Le cadre fonctionnel que nous avons choisi est celui des espaces de Banach du type H(div) et H(rot) ou l'intersection des deux, bases sur l'espace Lp, avec 1 < p < 1. En particulier, on se place dans des domaines non simplement connexes, avec des frontieres non connexes. Nous nous interessons en premier lieu a l'obtention d'inegalites de Sobolev pour des champs de vecteurs u 2 Lp(). Dans un second temps, nous etablissons des resultats d'existence pour les potentiels vecteurs avec diverses conditions aux limites. Ceci nous permet d'abord d'effectuer des decompositions de type Helmholtz et ensuite de demontrer des conditions Inf-Sup lorsque la forme bilineaire est un produit de rotationnels. Ces conditions aux limites font que l'equation de la pression est independante des autres variables. C'est la raison pour laquelle nous sommes naturellement conduit a etudier les problemes elliptiques qui se traduisent par les systemes de Stokes sans la pression. La resolution de ces problemes se fait au moyen des Conditions Inf-Sup qui jouent un role clef pour etablir l'existence et l'unicite de solutions. Nous donnons une applications aux systemes de Navier-Stokes, ou on obtient l'existence d'une solution en effectuant un point fixe autour du probleme d'Oseen. Enfin, deux methodes numeriques sont proposees pour approcher le probleme de Stokes. Nous analysons d'abord une methode de Nitsche et puis une methode de Galerkin discontinu. Quelques resultats numeriques de convergence sont decrits qui sont parfaitement coherents avec l'analyse.