A Two-Timescale Stochastic Algorithm Framework for Bilevel Optimization: Complexity Analysis and Application to Actor-Critic

双层优化 数学优化 数学 最优化问题 趋同(经济学) 随机优化 功能(生物学) 凸优化 正多边形 凸函数 静止点 算法 经济增长 进化生物学 生物 几何学 数学分析 经济
作者
Hong Mei,Hoi-To Wai,Zhaoran Wang,Zhuoran Yang
出处
期刊:Siam Journal on Optimization [Society for Industrial and Applied Mathematics]
卷期号:33 (1): 147-180 被引量:4
标识
DOI:10.1137/20m1387341
摘要

This paper analyzes a two-timescale stochastic algorithm framework for bilevel optimization. Bilevel optimization is a class of problems which exhibits a two-level structure, and its goal is to minimize an outer objective function with variables which are constrained to be the optimal solution to an (inner) optimization problem. We consider the case when the inner problem is unconstrained and strongly convex, while the outer problem is constrained and has a smooth objective function. We propose a two-timescale stochastic approximation (TTSA) algorithm for tackling such a bilevel problem. In the algorithm, a stochastic gradient update with a larger step size is used for the inner problem, while a projected stochastic gradient update with a smaller step size is used for the outer problem. We analyze the convergence rates for the TTSA algorithm under various settings: when the outer problem is strongly convex (resp. weakly convex), the TTSA algorithm finds an -optimal (resp. -stationary) solution, where is the total iteration number. As an application, we show that a two-timescale natural actor-critic proximal policy optimization algorithm can be viewed as a special case of our TTSA framework. Importantly, the natural actor-critic algorithm is shown to converge at a rate of in terms of the gap in expected discounted reward compared to a global optimal policy.
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