Uniqueness and nondegeneracy of solutions for a critical nonlocal equation

独特性 物理 组合数学 索波列夫空间 指数 临界指数 数学物理 数学 数学分析 量子力学 相变 语言学 哲学
作者
Lele Du,Minbo Yang
出处
期刊:Discrete and Continuous Dynamical Systems [American Institute of Mathematical Sciences]
卷期号:39 (10): 5847-5866 被引量:72
标识
DOI:10.3934/dcds.2019219
摘要

The aim of this paper is to classify the positive solutions of the nonlocal critical equation: \begin{document}$ - \Delta u = \left( {{I_\mu }*{u^{2_\mu ^*}}} \right){u^{2_\mu ^* - 1}},x \in {{\mathbb{R}}^N}$ \end{document} where $ 0<\mu<N $, if $ N = 3\ \hbox{or} \ 4 $ and $ 0<\mu\leq4 $ if $ N\geq5 $, $ I_{\mu} $ is the Riesz potential defined by \begin{document}${I_\mu }(x) = \frac{{\Gamma \left( {\frac{\mu }{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{{N - \mu }}{2}} \right){\pi ^{\frac{N}{2}}}{2^{N - \mu }}|x{|^\mu }}}$ \end{document} with $ \Gamma(s) = \int^{+\infty}_{0}x^{s-1}e^{-x}dx $, $ s>0 $ and $ 2^{\ast}_{\mu} = \frac{2N-\mu}{N-2} $ is the upper critical exponent in the sense of the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. We apply the moving plane method in integral forms to prove the symmetry and uniqueness of the positive solutions. Moreover, we also prove the nondegeneracy of the unique solutions for the equation when $ \mu $ close to $ N $.
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